Vermutlich verstehe ich die Frage nicht ganz richtig.
Soll die TV Box vom Switch eine IP erhalten, oder vom Router?
Oder meinst Du wirklich, dass der Switch eine IP vom Router erhalten soll?

Je nach Gerät (Router und Switch) kann eingestellt werden, ob die IP via DHCP Modus bezogen werden soll oder manuell als fixe IP definiert wird. Wird DHCP ausgewählt, wird eine IP im definierten DHCP IP-Range zugeteilt, entsprechend muss das Gegengerät als DHCP Server fungieren.

Die TV Boxen können meist nicht verändert/angepasst werden. Bei meiner TV Box (nicht von UPC) wollte ich auch eine eigene, fixe IP zuteilen, was jedoch nicht möglich/nicht einstellbar ist.

Hast Du Deinen Router als DHCP Server ("IP-Vergeber") eingerichtet?