Unter macOS habe ich immer Quicktime verwendet, um das eingehende Signal aufzuzeichnen. Es gab nie Probleme.

Ja, du brauchst so ein Konverter. Um das Bild zu speichern würde ich dir OBS empfehlen.

Es ist unerlässlich, den Framegrabber zu verwenden. Ein HDMI-Kabel von deiner Kamera direkt an deinen Laptop anzuschließen, hat keinen Effekt.
Sobald du den Framegrabber installiert hast, kannst du mit der Software OBS Studio (kostenlos und Open Source) auf den Videostream deiner Kamera zugreifen.
ich ermutige dich, dir das Youtube-Video "How to setup a camera for streaming or recording with OBS" des Kanals "Hammer Dance" anzusehen, um eine illustrierte Erklärung zu erhalten.

ja, du brauchst so einen converter. es ist aber möglich, dass es trotzdem nicht geht wegen lizenztechnischem kopierschutz. hdmi signale können nicht aufgenommen werden, wenn das signal urheberrechtlich geschützt ist.