AC, das Auswahlaxiom, ist aufgrund seines nicht-konstruktiven Charakters das umstrittenste mathematische Axiom, das von einigen gemieden und von anderen bedenkenlos verwendet wird. Diese Abhandlung zeigt paradigmatisch, dass: - Katastrophen ohne AC geschehen: Viele grundlegende mathematische Ergebnisse scheitern (sie sind in ZF äquivalent zu AC oder zu einer schwachen Form von AC). - Katastrophen mit AC geschehen: Viele unerwünschte mathematische Monster werden erschaffen (z. B. nicht messbare Mengen und unbestimmte Spiele). - Einige schöne mathematische Theoreme gelten nur, wenn AC durch ein alternatives Axiom ersetzt wird, das AC widerspricht (z. B. durch AD, das Axiom der Determiniertheit). Erhellende Beispiele stammen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, insbesondere aus der allgemeinen Topologie, aber auch aus Algebra, Ordnungstheorie, elementarer Analysis, Masstheorie, Spieltheorie und Graphentheorie.