Die Riemannsche Vermutung ist eines der wichtigsten noch ungelösten Probleme der heutigen Mathematik. Sie geht auf den deutschen Mathematiker Georg Friedrich Bernhard Riemann zurück, der sie 1859 aufstellte. Der Grund für die grosse Bedeutung der Riemannschen Vermutung liegt in der Verbindung der komplexen Analysis mit der analytischen Zahlentheorie. In dem Spezialfall für Kurven über endlichen Körpern können wir die Vermutung beweisen. Dieser Beweis wurde von André Weil 1940 erbracht. 1973 wurde er von Enrico Bombieri erneut geführt, wobei Bombieri den Beweis vereinfachte und fast nur Techniken der algebraischen Geometrie nutzte. Der Spezialfall der Vermutung hat ebenfalls wichtige Folgerungen. Mit ihrer Hilfe lassen sich Abschätzungen über die Anzahl rationaler Punkte von Kurven über endlichen Körpern herleiten, die zum Beispiel zur Optimierung geometrischer Codes verwendet werden. Zudem war dieser Spezialfall von Bedeutung für den Beweis des letzten Satzes von Fermat. In diesem Buch werden die benötigten Grundlagen für den Beweis der Riemannschen Vermutung für Kurven über endlichen Körpern zusammengetragen und der Spezialfall wird ausführlicher und elementarer bewiesen.