Arbeiten im Rahmen des fraktionalen Laplace-Operators bietet dieses Buch Modelle und Theoreme zu nichtlokalen Diffusionsphänomenen. Neben einer einfachen probabilistischen Interpretation werden einige Anwendungen auf Wasserwellen, Kristalldislokationen, nichtlokale Phasenübergänge, nichtlokale Minimalflächen und Schrödinger-Gleichungen vorgestellt. Darüber hinaus wird ein Beispiel einer s-harmonischen Funktion, ihre harmonische Erweiterung und einige Einblicke in eine fraktionale Version einer klassischen Vermutung von De Giorgi präsentiert. Obwohl das Hauptziel darin besteht, einige einführende Materialien zu den Anwendungen des fraktionalen Laplace-Operators zu sammeln, sind einige der Beweise und Ergebnisse neu. Die Arbeit ist vollständig eigenständig, und Leser, die verwandte Themen vertiefen möchten, sind eingeladen, die umfangreiche Bibliografie zur Orientierung zu konsultieren.